Математики з Університету Монаша, Мельбурн, Австралія розгадали багатовікову головоломку, що датується 17 століттям, розширивши теорему Декарта про коло до нових сміливих висот. Використовуючи передові математичні інструменти, натхненні фізикою, команда вивела загальне рівняння для будь-якої кількості дотичних кіл, пропонуючи свіжий погляд на рівняння, спочатку запропоноване математиком Рене Декартом.
Щоб дізнатись останні новини, слідкуйте за нашим каналом Google News онлайн або через застосунок.
Теорема Декарта, наріжний камінь геометрії, визначає співвідношення між чотирма взаємно дотичними колами. Але протягом століть узагальнення рівняння на більше, ніж чотири кола, вислизало від математиків – до сьогоднішнього дня.
Доцент Деніел Метьюз зі Школи математики Університету Монаша разом з аспірантом Оріоном Зимарісом визначили рівняння, яке керує «n-квітами» – складними геометричними візерунками, утвореними більшими конфігураціями дотичних кіл. У теорії пакування кіл квіти слугують фундаментальним будівельним блоком. Добре відомо, що якщо відомі кривизни зовнішніх кіл (пелюсток) у n-квітці, то можна точно визначити кривизну центрального кола.
Дослідники базували своє дослідження на сучасних математичних методах із залученням спінорів – математичних сутностей, які також з’являються у квантовій механіці та теорії відносності. “У 1643 році Декарт поставив перед принцесою Єлизаветою Пфальцською проблему, припускаючи, що зможе її вирішити. Адже він щойно винайшов декартові координати! Але він не зміг, і коли він переробив задачу на практично розв’язувану, вона стала відома як класична теорема Декарта про коло”, – йдеться в релізі Метьюза.
Вперше рівняння було запропоноване Ямадзі Нусідзумі в 1751 році і було відкрите незалежно багато разів – Якобом Штайнером в 1826 році, Вільямом Бікрофтом в 1842 році і Фредеріком Содді в 1936 році, який перефразував його у вигляді вірша. «Інші узагальнювали результат іншими способами, але це перше розширення результату, яке дає явне рівняння, що пов’язує радіуси довільної кількості кіл на площині».
Зимаріс, чия докторська дисертація призвела до прориву, підкреслив несподівані зв’язки з іншими галузями математики та фізики. «Наш підхід використовував передові геометричні інструменти, натхненні фізикою, що було несподівано», – сказав він. Він пояснив, що спінори, які широко використовуються у квантовій механіці, відіграли ключову роль у їхньому підході.
«Ми використовували версію спінорів, розроблену нобелівським лауреатом Роджером Пенроузом і Вольфгангом Ріндлером, яку вони застосували до теорії відносності. Виявляється, що ті самі математичні структури, які описують квантовий спін і теорію відносності, також допомагають нам зрозуміти пакування кіл».
Ця робота не тільки знаменує собою значний крок вперед у чистій математиці, але й демонструє зростаючу силу групи топології в Університеті Монаша, яка зараз включає дев’ять аспірантів – п’ять з них жінки. «Це відкриття є захоплюючим прикладом того, як класичні проблеми можуть надихати нову математику через століття», – сказав Метьюз. «Неймовірно думати, що питання, над яким бився Декарт у 1600-х роках, все ще має нові відповіді, які чекають на своє вирішення».
Читайте також:
- Фізики відкрили новий стан матерії, названий квантовою спіновою рідиною
- Нобелівську премію з фізики присуджено піонерам AI Джону Гопфілду і Джеффрі Гінтону